Algebra Lineal

1. Introducción al Algebra Lineal

El algebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es fundamental en la informática, especialmente en:

• Gráficos computacionales (transformaciones de imágenes y modelado 3D).
• Inteligencia artificial (redes neuronales y optimización).
• Procesamiento de imágenes (filtros y manipulación de imágenes).

2. Vectores y Espacios Vectoriales

Un vector es un objeto matemático que tiene magnitud y dirección. En informática, se utilizan para representar posiciones y movimientos en gráficos computacionales.

Ejemplo de vector en R²: Si , su magnitud es:

Ejercicio 1 (Paso a Paso)

Calcular la magnitud del vector.

Solución:

1. Aplicamos la fórmula de magnitud: .
2. Sustituyendo y :
3. Resultado final: .

3. Matrices y Transformaciones Lineales

Las matrices son arreglos rectangulares de números y se usan en transformaciones graficas.

Ejemplo de matriz de rotación en 2D:

Ejercicio 2 (Paso a Paso)

Rotar el punto 90° en sentido antihorario usando la matriz de rotación.

Solucion:

1. La matriz de rotación para es:
2. Multiplicamos por el vector :
3. El nuevo punto es .

4. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales permiten resolver problemas en computación gráfica y modelado matemático.

Ejemplo de sistema lineal:

Ejercicio 3 (Paso a Paso)

Resolver el siguiente sistema usando eliminación por sustitución:

Solucion:

1. Despejamos en la segunda ecuación:
2. Sustituimos en la primera ecuación:
3. Expandimos:
4. Simplificamos:
5. Sustituimos en :
6. Resultado final: .