Matemáticas Discretas

Introducción a las Estructuras Matemáticas Aplicadas en Informática

1. Conceptos Fundamentales

Las matemáticas discretas son la base de la informática y se utilizan en la programación, bases de datos, criptografía y más. Entre los temas clave se incluyen:

• Conjuntos: Colecciones de elementos.
• Relaciones y funciones: Vínculos entre elementos de conjuntos.
• Lógica proposicional: Razonamiento basado en proposiciones.
• Combinatoria: Calculo de posibles combinaciones y permutaciones.
• Teoría de grafos: Modelado de relaciones y estructuras de datos.

2. Conjuntos y Operaciones

Un conjunto es una colección de elementos. Se denota con llaves {} y los elementos se separan por comas.

Ejemplo:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}

Operaciones con conjuntos:

• Unión: A U B = {1,2,3,4,5,6}
• Intersección: A ∩ B = {3,4}
• Diferencia: A – B = {1,2}

Ejercicio 1 (Paso a Paso)

Dado los conjuntos X = {a, b, c, d} y Y = {b, d, e, f}, calcular:

1. X U Y
2. X ∩ Y
3. X – Y

Solución:

1. X U Y = {a, b, c, d, e, f}
2. X ∩ Y = {b, d}
3. X – Y = {a, c}

Ejercicio 2

Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4}, calcular:

1. A U B
2. A ∩ B
3. B – A

Solución:

1. A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
2. A ∩ B = {2, 4}
3. B – A = {1, 3}

3. Lógica Proposicional

Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Ejemplos:

• «2 es un numero par» (Verdadero)
• «5 es divisible por 2» (Falso)

Operaciones lógicas:

• Negación (~p): Invierte el valor de verdad.
• Conjunción (p ^ q): Es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas.
• Disyunción (p v q): Es verdadera si al menos una proposición es verdadera.

Ejercicio 3 (Paso a Paso)

Dadas las proposiciones:

• p: «Hoy es lunes»
• q: «Mañana es martes»

Determinar el valor de verdad de:

1. p ^ q
2. p v q
3. ~p

Solución:

1. Si hoy es lunes, entonces p y q son verdaderos, por lo que p ^ q es verdadero.
2. Como al menos una de las proposiciones es verdadera, p v q es verdadero.
3. La negación de p, ~p, será falsa si p es verdadero.

Ejercicio 4

Dadas las proposiciones:

• p: «El cielo es azul»
• q: «Llueve hoy»

Determinar el valor de verdad de:

1. p ^ q
2. p v q
3. ~q

Solución:

1. Depende del clima, si ambas son verdaderas, p ^ q es verdadero; si no, es falso.
2. Si al menos una es verdadera, p v q es verdadero.
3. Si q es falso (no llueve), entonces ~q es verdadero.

4. Teoría de Grafos

Un grafo es una estructura que representa relaciones entre elementos (nodos y aristas).

Ejemplo:

• Nodos: A, B, C, D
• Aristas: (A, B), (B, C), (C, D), (D, A)

Aplicaciones:

• Redes sociales
• Rutas de transporte
• Bases de datos

Ejercicio 5 (Paso a Paso)

Construir un grafo con los nodos X, Y, Z, W y las conexiones (X, Y), (Y, Z), (Z, W), (W, X).

Solución:

1. Dibujar cuatro nodos: X, Y, Z, W.
2. Conectar X con Y, Y con Z, Z con W y W con X.

Este grafo representa una estructura cíclica.

Ejercicio 6

Dado el siguiente grafo con los nodos {A, B, C, D, E} y las conexiones {(A, B), (A, C), (B, D), (C, D), (D, E)}, responder:

1. ¿Cuáles son los vecinos de B?
2. ¿Cuántos nodos tiene el grafo?
3. ¿Es un grafo dirigido o no dirigido?

Solución:

1. Los vecinos de B son A y D.
2. El grafo tiene 5 nodos.
3. Si las conexiones no tienen dirección, es un grafo no dirigido; si tienen dirección, es dirigido.